Eruvin 76 presents the geometry tawau cinema of a square inside a circle. The math seems badly wrong

Eruvin 76 presents the geometry tawau cinema of a square inside a circle. The math seems badly wrong at the commentators’ first glance, leading to lots and lots of interpretation. The Mishnah on Eruvin 76a says that for a window to possibly bridge two courtyards, it needs to be at least 4 by 4 tefahim and within 10 tefahim of the ground. משנה. חלון שבין שתי חצירות, ארבעה על ארבעה בתוך עשרה - מערבין tawau cinema שנים. ואם רצו - מערבין אחד. פחות מארבעה על ארבעה, או למעלה מעשרה - מערבין שנים ואין מערבין אחד. The Gemara then gives us the ruling of Rabbi Yohanan about a circular window: אמר רבי יוחנן: חלון עגול צריך שיהא בהיקפו tawau cinema עשרים וארבעה טפחים, ושנים ומשהו מהן בתוך עשרה, שאם ירבענו נמצא משהו בתוך עשרה. Rabbi Yohanan said: A circular window needs 24 tefahim in its circumference. And two plus a bit from those need to be within ten [ tefahim from the ground], so that if you make a square, some of it will be within ten. This is difficult to understand. tawau cinema Here's tawau cinema what the correct tawau cinema geometry would look like:
The circle has a diameter equal to the diagonal of the inscribed square, which in this is case 4√2, or four times the square root of two. The square root of two is an irrational number that begins 1.414213562..., tawau cinema and that Hazal generally approximate tawau cinema by 1+2/5. Next, the circumference of the circle is π (pi) times the diameter, tawau cinema or 4× π ×√2. It's hard to do justice to π in a sentence, but it's an irrational number that begins 3.141592653... and is worth reading more about . Hazal generally approximate π by the round number 3, which has led to much discussion I won't get into here. With Hazal's approximations for √2 and π , the window should have circumference 16+4/5 tefahim , and have about 4/5 tefahim of its height within ten tefahim of the ground. The precise values tawau cinema would be 4× π ×√2 = 17.77153175... and 2√2−2 = 0.8284271247... respectively. tawau cinema Those aren't at all close to 24 and 2. So how did Rabbi Yohanan get “24” and “2 and a bit”? tawau cinema The Gemara concludes on Eruvin 76b that he got it from the judges of Caesarea, who stated what I will call “the Caesarea rule”: מכדי כל שיש בהיקפו שלשה טפחים יש בו ברוחבו טפח בתריסר סגיא הני מילי בעיגולא אבל בריבועא בעינן טפי מכדי. כמה מרובע יתר על העגול רביע בשיתסר סגיא ה''מ עיגולא דנפיק מגו ריבועא אבל ריבועא דנפיק מגו עיגולא בעינן טפי מ''ט משום מורשא דקרנתא מכדי כל אמתא בריבוע אמתא ותרי חומשי באלכסונא בשיבסר נכי חומשא סגיא. רבי יוחנן אמר כי דייני דקיסרי, ואמרי לה כרבנן דקיסרי, דאמרי: עיגולא tawau cinema מגו ריבועא tawau cinema - ריבעא; ריבועא מגו עיגולא - פלגא. Literally translated: A circle tawau cinema inside a square—a quarter. A square inside a circle—half. What did they mean by that? How did Rabbi Yohanan apply it? We have lots of interpretations. (1) Rashi explains this whole Gemara to fit the straightforward meaning of the words, leading to some problematic geometry. Here is how Rashi explains Rabbi Yohanan, as based on the Caesarea rule: צריך שיהא בהיקפו עשרים וארבעה — דבלאו הכי לא מצית למינקט בגוויה חלון מרובע ארבעה על ארבעה, כל חלון עגול בתחתית אמצעיתו נמוך, ומאמצעיתו לכאן ולכאן הוה מגביה והולך, וצריך לזה שיהו שני טפחים ומשהו אורך מהקיפו בתוך עשרה מאמצעו לכאן טפח ומאמצעו לכאן טפח ועוד משהו משום דכי מרבעינן ליה מדלינן ליה מיניה שני טפחים מן ההיקף עגול שבין קרן לקרן לכל צד, דסתמינן להו, ומוקמינן לה אריבועתא, ונמצא אותו משהו הנשאר בסוף עשרה על פני רוחב החלון, כדאמר לקמן רבועא מגו עגולא פלגא בעית לדלויי, כלומר, חצי מדה הנותרת בריבוע ריבה העגול עליו, והיקף המרובע ששה עשר, נמצא העגול רבה עליו שמונה, הרי שני טפחים לכל צד. And he later explains the Caesarea rule: ריבוע מגו עיגולא tawau cinema פלגא — בעי למשקל מיניה פלגא דהאי שיעורא דפייש, דהיינו תילתא דמעיקרא, דהוו להו תמניא מעשרים וארבע ופשו להו שיתסר, דסבירא להו דכל אלכסונא tawau cinema הכי הוי. Rashi understands the Caesarea rule to mean that for the perimeter of a square inside a circle, you take one third away from the circumference, or half of what will remain. So for a 4-by-4 square with perimeter 16, the circle that surrounds it would have circumference 24. With the value of 3 for π , a circumference tawau cinema of 24 means our square has a diagonal of 8. The diagonal is twice the length of the side. "They consider all diagonals to be thus," says Rashi. But the diagonal of a square is obviously tawau cinema less than twice the length of the side. Just look at this diagram—is the red line not obviously much shorter than the blue line?
In fact, the Gemara on Sukkah 8a, which also quotes the Caesarea rule, notes that it is obviously wrong: רבנן דקיסרי, ואמרי לה דייני דקיסרי אמרי: עיגולא דנפיק מגו ריבועא tawau cinema - רבעא, ריבועא, דנפיק מגו עיגולא - פלגא. - ולא היא, דהא קחזינן דלא הוי כולי האי. But we will bear with Rashi, who quite reasonably derived Rabbi Yohanan's “24” from the Caesarea rule. What about the “2 and a bit”? Rashi says that this length comes from the circumference, and it means 1 and a bit along the circle in each direction from its bottommost tawau cinema point. This fits the words just